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Un'approsimazione di Pi Greco

Post n°1734 pubblicato il 20 Novembre 2011 da tanksgodisfriday

frazione 355 / 113 è un'ottima approssimazione a pi greco.
Il risultato risale all'anno 480 e lo si deve al matematico cinese Zu Chongzhi. Più o meno nello stesso tempo, nel 476, Odoacre deponeva Romolo Augusto, facendo calare il sipario sull'Impero Romano d'Occidente. Cominciavano secoli bui.

Tornando alla lontana Cina, Zu Chongzhi dimostrò questo risultato calcolando il perimetro di un poligono regolare di 12.288 lati, come approssimazione di una circonferenza. Benché i due numeri coinvolti (133 e 355) siano abbastanza piccoli da ricordarli a mente, l'approssimazione è davvero notevole, visto che l'errore è minore di 0,0000003.

Come si fa a trovare frazioni che approssimano il valore di pi greco?
È abbastanza semplice, se si conosce già il valore di pi greco (ricordiamoci che Zu Chongzhi non lo conosceva!). Basta un ragionamento facile facile, e anche semplice da realizzare con excel.

Assumiamo per pi greco il valore approssimato: 3,1415926535.
Partiamo dalla frazione 1 / 1. Il valore della frazione è troppo piccolo (1), cosicché l'errore che si commette assumendola come valore di pi greco è elevato: 2,1415926535.
Occorre aumentare il valore della frazione, quindi incrementiamo di 1 il numeratore: 2 / 1. Ancora troppo poco, aumentiamo ancora di 1 il numeratore e riproviamo: 2 / 1 = 2. Aumentiamo ancora: 3 / 1 = 3.

Serve ancora un piccolo sforzo: 4 / 1 = 4. Questa volta è troppo! Aumentiamo allora il denominatore: 4 / 2 = 2. Siamo tornati al troppo poco, occorre rimettere mano al numeratore: 5 / 2 = 2,5.
Proseguiamo così, calcolando l'errore a ogni incremento del numeratore o del denominatore, e annotando tutte le volte che troviamo un errore più piccolo del minimo precedente.

Troviamo così: 22 / 7 (risultato già noto ad Archimede), poi, dopo un po', ecco il nostro 355 / 133 !

Occorrerà una lunga strada, per arrivare a ridurre l'errore: 103.993 / 33.102: difficile da scovare con excel, sottolinea la sorprendente semplicità della frazione trovata da Zu Chongzhi.
A poca distanza da 355 / 113,, ecco 377 / 120: approssimazione peggiore di quella di Zu Chongzhi, ma con valore storico, essendo stata trovata da Tolomeo.

Un calcolo che ci porta in giro per la Storia e per il Mondo, insomma.

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